Расчет методом узловых потенциалов

  Будем рассматривать установившийся режим в линейной цепи при гармоническом воздействии. Тогда справедлив символический метод расчета, применительно к схеме, рис.6. Для чего подключаем узел с номером «0» к корпусу и считаем его опорным с потенциалом равным нулю. Тогда разность потенциалов между опорным узлом и каким – либо другим дает искомое напряжение.

 Запишем выражения для элементов схемы: комплексная единица ; реактивные сопротивления элементов , , ,рад,   или ; , или .

Комплексные сопротивления ветвей и соответствующая им матрица Комбинационные устройства Комбинационными называются логические устройства, выходные функции которых определяются входными логическими функциями в момент их воздействия. К комбинационным устройствам относятся шифраторы, дешифраторы, преобразователи кодов, мультиплексоры и демультиплексоры, сумматоры и компараторы.

, Z=,

Комплексные проводимости ветвей и соответствующая им матрица

, Y=.

Система уравнений для узловых потенциалов

.

Cобственные и взаимные проводимости узлов:

  

Матрицы комплексных собственных и взаимных проводимостей:

 YU=.

Определяем узловые токи с учетом выбранных направлений источников ЭДС и токов (рис.5 и 6)

 

Решение системы уравнений – узловые потенциалы:

=YU1 

Комплексные амплитуды токов в ветвях цепи и соответственно вектор токов ветвей:

  

Проверяем баланс токов в узлах цепи (первый закон Кирхгофа)

  

Построим векторную диаграмму баланса токов в первом узле. Для этого сформируем вспомогательную матрицу и представим решение на комплексной плоскости (рис.7):

  

 

Рис.7. Векторная диаграмма для узла 1

Баланс токов и векторная диаграмма подтверждают правильность решения.

 Построим графики мгновенных значений токов для первой и третьей ветвей в интервале t=0,003T..2T c:

модули и начальные фазы

  arg(=-2.726; arg(

 - уравнения мгновенных значений токов

  

Рис.8. Временные зависимости токов в первой и третьей ветвях

Комплексные амплитуды напряжений на каждом элементе цепи:

 ; 

   

-17.617-7.774j	20.515-46.49j	0
-18.673-32.976j	0	-41.653+25586j
-8.551+16.015j	-39.622-21.155j	20.229+10.801j
-0.24-9.579j	15.167-0.38j	0
32.382+15.05j	0	0
-11.553+2.48j	-9.819-45.73j	3.916+18.241j

Проверка баланса напряжений и ЭДС в контурах (второй закон Кирхгофа):

Так, для контура

Расчет напряжений выполнен правильно.

Для выбранного контура построим векторно-топографическую диаграмму напряжений. С этой целью сформируем вспомогательную матрицу-столбец, содержащую координаты на комплексной плоскости потенциалов всех промежуточных точек контура:

U:=.

 

Рис.9. Векторно-топографическая диаграмма для контура, образованного 2 –й, 3-й, и 5-й ветвями

Аналогично можно построить топографические диаграммы для других замкнутых контуров.