Приведены типовые расчёты из разделов: Пределы, Дифференцирование, Графики, Интегралы, Дифференциальные уравнения, Ряды, Векторный анализ, Аналитическая геометрия, Линейная алгебра. По указанным разделам освещены теоретические вопросы, теоретические упражнения, расчетные задания.Задача 1. Найти производную скалярного поля
в точке
по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности
, образующей острый угол с положительным направлением оси
.
Задача 2. Найти угол между градиентами скалярных полей
и
в точке
.
- искомый угол.
Задача 3. Найти векторные линии в векторном поле
.
Дифференциальные уравнения векторных линий поля
:
Задача 4. Найти поток векторного поля
через поверхности
, вырезаемую плоскостью
(нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).
Задача 5. Найти поток векторного поля a через часть плоскости
, расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью
.
Задача 6. Найти поток векторного поля
через часть плоскости
, расположенную в 1 октанте (нормаль образует острый угол с осью
Задача 7. Найти поток векторного поля
через замкнутую поверхность
(нормаль внешняя).
Задача 8. Найти поток векторного поля
через замкнутую поверхность
(нормаль внешняя).
Перейдем к цилиндрической системе координат
Задача 9. Найти поток векторного поля
через замкнутую поверхность
(нормаль внешняя).
Воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса.
Цилиндрический системы координат
Отсюда,
Задача 10. Найти работу силы
при перемещении вдоль линии
от точки
к точке
.
отрезок
1)
![]()
2)
![]()
Задача 11. Найти циркуляцию векторного поля
вдоль контура
(в направлении, соответствующем возрастанию параметра
Задача 12. Найти модуль циркуляции векторного поля
вдоль контура
.
Воспользуемся формулой Стокса: