Расчеты на растяжение и сжатие статически определимых стержневых систем Плоские статические определимые фермы

Плоское напряженное состояние Понятие о плоском напряженном состоянии в точке. Общий случай плос-кого напряженного состояния. Вывод зависимости между напряжениями и уг-лом наклона площадки. Определение главных напряжений в точке. Экстремальные касательные напряжения.

Влияние температуры на напряжение и деформации в брусьях

 При нагревании на стержень, заделанный одним концом, увеличит свои поперечные и продольные размеры. Увеличение длины составит

 , (1.6.1)

где – температурный коэффициент линейного расширения. Значения коэффициентов линейного расширения для некоторых материалов приведены в табл. 2.

 Если система представляет собой статически определимую систему, то изменение температуры не вызовет в ней никаких внутренних усилий.

 При нагревании на стержня, заделанного двумя концами, возникнет нормальная сила, так как заделка препятствует удлинению стержня. Для определения нормальных усилий применяется обычный метод расчета статически неопределимых систем.

 Задача 1.6.1. Пусть дана система, представленная на рис.1.5.3. Предположим, что все стержни выполнены из одного материала и имеют одинаковую площадь поперечного сечения А. Примем, что внешняя нагрузка отсутствует, т.е. F = 0, но средний стержень нагрет на величину .

 Решение. Из симметрии конструкции следует, что нормальные силы в крайних стержнях одинаковы (NB = NC). Предположим, что все стержни растянуты. Рассечем мысленно все стержни и составим уравнение равновесия в виде суммы проекций сил на вертикальную ось:

  (а)

 Таким образом, имеем две неизвестные нормальные силы, но одно уравнение равновесия. Задача является один раз статически неопределимой. При составлении дополнительного уравнения примем во внимание, что абсолютные удлинения всех трех стержней одинаковы:

 или

 Абсолютные удлинения крайних стержней возникают от продольной нормальной силы, а абсолютное удлинение среднего стержня равно сумме его температурного удлинения и упругой деформации от продольной силы ND. Приравняв абсолютные удлинения 

, находим .

 Подставляя полученное выражение в уравнение равновесия (а), определяем:  и  Следовательно, в крайних стержнях будут действовать растягивающие нормальные силы, а в среднем – сжимающая нормальная сила.

 Если на стержневую систему (рис. 1.5.3) действует также и внешняя сосредоточенная сила то определив нормальные силы в стержнях, возникающие от этой силы, используем принцип независимости действия сил и просто складываем результаты двух расчетов: от температурного воздействия и от внешней сосредоточенной силы.

 Например, от внешней силы F в стержнях возникнут внутренние нормальные усилия (см. задачу 1.5.3). При нагревании среднего стержня на величину в стержнях возникают, согласно проведенного выше расчета, нормальные усилия

 и NC =

 При одновременном действии внешней силы F и нагреве среднего стержня на  в стержнях будут следующие нормальные усилия:

 Задача 1.6.2. Стержень постоянного поперечного сечения А и длиной l заделан двумя концами. В процессе эксплуатации он нагрелся на величину . Определить возникшие внутренние усилия и напряжения.

 Ответ: ;

 Задача 1.6.3. Два абсолютно жестких бруса В и С соединены между собой тремя стержнями, из которых крайние – стальные с модулем упругости и температурным коэффициентом линейного расширения , а средний стержень – медный с модулем упругости   и с (рис. 1.5.7). Площади поперечных сечений всех стержней одинаковы.

 Определить нормальные напряжения в поперечных сечениях стержней, возникающие при повышении температуры всех трех стержней на 45о. Принять F = 0.

 Ответ: = 11,12 МПа; = –22,24 МПа.

 Задача 1.6.4. Определить перемещение нижнего конца стального стержня, нагруженного собственным весом с = 76440 Н/м3 и сосредоточенными силами (рис. 1.2.1). В процессе эксплуатации стержень был нагрет на величину = 50о. Принять модуль упругости материала стержня , температурный коэффициент линейного расширения .

 Ответ:

 Задача 1.6.5. Медный стержень с постоянной площадью поперечного сечения А = 10 см2 загружен сосредоточенными силами F = 1000 кг (рис.1.4.3) и нагрет на = 20о. Определить опорные реакции нижней опоры R1 и верхней опоры R2. Собственный вес стержня не учитывать. Принять модуль Юнга , а коэффициент линейного расширения  (см. табл. 2).

 Ответ: R1 = –4258,4 кг = –417,7 МПа; R2 = –3258,4 кг = –319,6 МПа.

 Задача 1.6.6. Дан прямой стальной стержень (рис. 1.4.1), находящийся под действием собственного веса с = 78,5 кН/м3 и сосредоточенной силы F = 1000 Н. Эпюра внутренних нормальных усилий показана на рис. 1.4.1, г, из которой видно, что опорная реакция RB = –857,16 Н. На сколько градусов по Цельсию () необходимо нагреть или охладить весь стержень, чтобы нижняя опорная реакция RB стала равной нулю (RB = 0)? Принять коэффициент линейного расширения принять по табл.2.

 Ответ: = –0,107о.

 Задача 1.6.7. Определить внутренние усилия и напряжения в каждом участке бруса, изображенного на рис. 1.6.1. Брус был подвергнут нагреванию на . Коэффициент линейного расширения обозначить через  а модуль Юнга через Е.

 Ответ:

 

 Задача 1.6.8. Стальной стержень постоянного поперечного сечения заделан одним концом (рис. 1.4.8). После установки стержня в проектное положение был произведен замер величины зазора между нижним торцом бруса и нижней опорой, который оказался равен  = = 0,5 мм, длина стержня l = 2 м,  удельный вес материала стержня = 78,5 кН/м3 .

 На сколько градусов () необходимо охладить весь стержень, чтобы опорная реакция нижней опоры была равна нулю (RB = 0) после загружения стержня сосредоточенной силой F = 200 кН.

 Ответ: = –19,62о. 

Гипотезы прочности Назначение гипотез прочности. Понятие об эквивалентных напряжениях. Хрупкое и вязкое разрушение в зависимости от вида напряженного состояния. Современная трактовка развития трещин и наступления пластических дефор-маций. Гипотеза прочности при хрупком состоянии материала наибольших нормальных напряжений. Гипотеза наибольших деформаций (удлинений). Ги-потеза наибольших касательных напряжений - пластичное состояние материа-ла. Гипотеза удельной энергии формоизменения - пластичное состояние материала. Гипотеза разрушения Мора для материалов с различными предела-ми прочности при растяжении и сжатии. Общие сведения о новых гипотезах прочности для изотропных и анизотропных материалов.
Построение эпюр нормальных сил и напряжений для брусьев