Расчеты на растяжение и сжатие статически определимых стержневых систем Плоские статические определимые фермы

Плоское напряженное состояние Понятие о плоском напряженном состоянии в точке. Общий случай плос-кого напряженного состояния. Вывод зависимости между напряжениями и уг-лом наклона площадки. Определение главных напряжений в точке. Экстремальные касательные напряжения.

Расчеты на растяжение и сжатие mстатически неопределимых стержневых систем

 Задача 1.5.1 (Пример взят из учебника А.В. Даркова, Г.С. Шпиро «Сопротивление материалов». – М.: «Высшая школа», 1975. – Изд.4-е. – 656с.).

 Дана статически неопределимая плоская шарнирно - стержневая система, состоящая из абсолютно жесткого бруса, опертого на шарнирную опору и прикрепленного к двум стержням ВВ1 и СС1 при помощи шарниров.

 Площади поперечных сечений показаны на рис.1.5.1, а.

 Определить нормальные усилия в стержнях ВВ1 и СС1. 

 Решение. На рис.1.5.1, б показана расчетная схема рассматриваемой шарнирной системы, где N1, N2 – нормальные силы, возникающие в стержнях ВВ1 и СС1; V, H – вертикальная и горизонтальная составляющая опорной реакции шарнирно-непод-вижной опоры О; F – внешняя сосредоточенная сила, приложенная к абсолютно жесткому брусу ВD. Таким образом, имеем четыре неизвестные реакции (N1, N2, V, H,) и три уравнения равновесия (,,). Следовательно, данная система является один раз статически неопределимой и для ее решения требуется составить одно дополнительное уравнение перемещений.

 Запишем уравнение равновесия

  (а)

которое содержит две неизвестные нормальные силы N1 и N2. Для составления дополнительного уравнения перемещений рассмотрим деформацию системы, предположив, что абсолютно жесткий брус ВD при деформации повернется вокруг опоры О (рис. 1.5.1, б, пунктирная линия В/ОD/), оставаясь прямым.

 Из подобия треугольников ВВ/О и DD/О находим:

  или  (б)

 Из-за малости перемещений будем полагать, что точки В, С, D при деформации системы переместятся соответственно в точки В/, С/, D/, т.е. перемещения точек абсолютно жесткого бруса будут происходить вертикально. Определим удлинения стержней ВВ1 и СС1:

  (в)

но с другой стороны при рассмотрении рис. 1.5.1, б можно получить

 и  или  а с учетом формул (в) имеем  (г)

 Приравняем соответствующие части формул (б) и (г):

  (д)

 Таким образом, получена система двух уравнений (а) и (д) с двумя неизвестными N1 и N2, решая которую находим

.

 Задача 1.5.2. Дана плоская шарнирно-стержневая система, состоящая из абсолютно жесткого бруса ВD, опертого на шарнирную опору О (рис. 1.5.2). Брус ВD прикреплен к двум стержням ВВ1 и СС1 при помощи шарниров. Площади поперечных сечений стержней ВВ1 и СС1 принять равными.

 Определить нормальные силы, возникающие в стержнях ВВ1 (N1)и СС1 (N2).

 Ответ: N1 = 0,6F; N2 = 1,2F.

 Задача 1.5.3. Три стальных стержня с одинаковыми площадями поперечных сечений А прикреплены шарнирно к абсолютно жесткой балке ВС (рис. 1.5.3), на которую действует сосредоточенная сила F = 50 кН.

 Определить необходимую площадь поперечных сечений А трех стержней, если расчетное сопротивление стали стержней Ry = 240 МПа, а коэффициент условий работы γс = 1.

 Ответ: А = 0,83 см2.

 Задача 1.5.4. На рис. 1.5.4 изображена стержневая система, состоящая из недеформируемого бруса АВ, шарнирно опертого в точке В и подвешенного на трех стержнях. Для решения задачи принять q = 10 кН/м, a = 2 м, А1 = 5 см2, А2 = 20 см2, А3 = 10 см2, = 60о.

 Определить нормальные силы, возникающие в стержнях.

 У к а з а н и е. На рис. 1.5.4, б показана расчетная схема рассматриваемой стержневой системы. Пунктирная линия ВЕ/ показывает положение жесткого стержня ВЕ после приложения внешней нагрузки. В качестве уравнения равновесия принять .

 Ответ: N1 = 1,04qa = 20,8 кН; N2 = –180 кН; N3 = 156 кН.

 Задача 1.5.5. Абсолютно жесткий брус ВD, нагруженный силой F = 30 кН (рис. 1.5.5), шарнирно закреплен в точке В и подвешен на двух стальных стержнях с площадями поперечных сечений А1 =5см2, А2 =10см2.

 Определить нормальные напряжения в стержнях.

 Ответ: N1 = 1,217 кН;

 N2 = 14,6 кН.

 Задача 1.5.6. Определить нормальные напряжения в трех стальных стержнях, на которых подвешена абсолютно жесткая балка СD (рис. 1.5.6) с грузом F = 5000 кг.

 Ответ: = 500 кг/см2 = 49,1 МПа;

= 750 кг/см2 = 73,6 МПа;  = 98,1 МПа.

 Задача 1.5.7. Два абсолютно жестких бруса В и С (рис. 1.5.7) соединены между собой тремя стержнями, из которых крайние стержни – стальные с модулем Юнга , средний стержень – медный с модулем Юнга 

 Площади поперечных сечений всех стержней одинаковы и равны А = =1см2, расстояния между абсолютно жесткими брусьями l = 1 м.

 Определить нормальные усилия в стержнях, если расстояния между брусьями  увеличить на = 0,0001 м. Найти значение силы F, которая обеспечит увеличение расстояния между брусьями В и С на заданную величину .

 Ответ: Nc = 2,06 кН – в стальных стержнях; Nм = 1,3 кН – в медном стержне; F = 5,42 кН.

 Задача 1.5.8. К двум абсолютно жестким брусьям В и С приложены сосредоточенные силы F = 54,2 кН (рис. 1.5.7). Брусья В и С соединены между собой тремя стержнями, из которых крайние – стальные с , а средний – медный с . Площади поперечных сечений принять одинаковыми и равными А = 1 см2, а l = 1 м.

 Вычислить удлинения стержней и , а также значения нормальных усилий, возникающих в стержнях.

 Ответ: Nм = 13 кН, Nc = 20,6 кН; == 0,001 м.

 Задача 1.5.9. Абсолютно жесткая балка ОС опирается на шарнирно неподвижную опору О и поддерживается двумя гибкими связями ВD и СЕ (рис. 1.5.8).

 Определить внутренние усилия в связях ВD и СЕ, если a = 3 м, b= 2,6 м; с = 1,6 м. Связи изготовлены из одного материала.

 Ответ: NBD = 0,1388Q; NCE = 0,299Q.

Гипотезы прочности Назначение гипотез прочности. Понятие об эквивалентных напряжениях. Хрупкое и вязкое разрушение в зависимости от вида напряженного состояния. Современная трактовка развития трещин и наступления пластических дефор-маций. Гипотеза прочности при хрупком состоянии материала наибольших нормальных напряжений. Гипотеза наибольших деформаций (удлинений). Ги-потеза наибольших касательных напряжений - пластичное состояние материа-ла. Гипотеза удельной энергии формоизменения - пластичное состояние материала. Гипотеза разрушения Мора для материалов с различными предела-ми прочности при растяжении и сжатии. Общие сведения о новых гипотезах прочности для изотропных и анизотропных материалов.
Построение эпюр нормальных сил и напряжений для брусьев