Примеры решений задач

манометры в чиллере

Математика Дифференциальное исчисление линейная и векторная алгебра Пределы

  • Вычисление производной Формулы вычисления производной некоторых элементарных функций получены в курсе средней школы
  • Производные высших порядков Предположим, что функция y = f (x ) дифференцируема в некотором интер­вале (а, в ). Тогда ее производная f' (x ) в этом интервале является функцией х. Пусть эта функция также имеет производную в (а, в ). Эта производная называется второй производной или производной второго порядка функции y = f (x) и обозначается y'' или f'' (x ).
  • Дифференциал функции Рассмотрим функцию у = х 3. Дадим некоторому значению аргумента х ¹ 0 приращение Dх ¹ 0, тогда функция получит соответствующее приращение Dу. Вычислим его.
  • Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях Теорема Ферма Пусть функция y = f (x ) определена в интервале (а, в ) и принимает в точке с этого интервала наибольшее или наименьшее на (а, в ) значение. Если существует f' (с ), то f' (с ) = 0.
  • Выпуклость и вогнутость графика функции Точки перегиба График дифференцируемой функции у = f (x ) называется выпуклым (вогнутым) в интервале (а, b ), если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале.
  • Пример. Вычислить определитель: по правилу треугольника.
  • Определители 4-го порядка. Методы их вычисления
  • Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если её определитель отличен от нуля, и вырожденной (особенной), если определитель её равен нулю.
  • Метод Гаусса Пусть требуется решить систему АХ=В. Над строками расширенной матрицы произведем элементарные преобразования, приводящие ее к виду, когда ниже элементов а11, а22, …, а rr будут стоять нули. Этот вид матрицы будем называть трапециевидным.
  • Предел функции Совокупность значений некоторых величин, как правило, лишенных физического содержания, представляет собой некоторые числовые множества. Будем обозначать множества большими буквами латинского алфавита: А,В,..,Х ,У .
  • Рассмотрим на примерах основные приёмы раскрытия неопределенностей
  • Точка разрыва функции, не являющаяся точкой разрыва первого рода или точкой устранимого разрыва, является точкой разрыва второго рода.
  • Векторная алгебра и аналитическая геометрия Линейные операции над векторами Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.
  • Координаты вектора Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат Oxyz. Обозначим , , – единичные векторы, направленные соответственно вдоль осей Ox, Oy, Oz (орты осей). Эти векторы называются декартовым прямоугольным базисом в пространстве.
  • Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов (обозначается или ) называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: , где .
  • Кривые второго порядка Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат х, у
  • Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид
  • Уравнение такого вида может определять: 1) эллипс (в частности, окружность), 2) гиперболу, 3) параболу, 4) пару прямых (параллельных, пересекающихся либо совпадающих), 5) точку или не определять никакой линии.
  • Взаимное расположение прямой и плоскости
  • Математика лекции и примеры решения задач

  • Системы линейных уравнений Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет. Система, имеющая решение, называется совместной. Если система имеет только одно решение, то она называется определенной. Система, имеющая более чем одно решение, называется неопределенной (совместной и неопределенной). Если система не имеет решений, то она называется несовместной.
  • Вычисление обратной матрицы
  • Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной Пусть D — некоторое множество чисел. Если задан закон, по которому каждому числу x из множества D ставится в соответствие единственное определенное число y, то будем говорить, что на множестве D задана функция, которую назовём f. Число y — это значение функции f в точке x, что обозначается формулой y = f(x).
  • Число x называется аргументом функции, множество D—областью определения функции, а все значения y образуют множество E, которое называется множеством значений или областью изменения функции.
  • Производные высших порядков
  • Несобственные интегралы с бесконечными пределами Если положить промежуток интегрирования бесконечным, то приведенное выше определение определенного интеграла теряет смысл, например, потому что невозможно осуществить условия n®¥;l®0 для бесконечного промежутка. Для такого интеграла требуется специальное определение.
  • Приведем примеры вычисления частных производных. Как говорилось выше, для вычисления частной производной по x функции z=f(x,y) нужно положить переменную y равной константе, а при нахождении частной производной по y нужно считать константой переменную x.
  • Производная по направлению. Пусть в плоскости XOY расположена точка M0(x0,y0). Зададим произвольный угол a и рассмотрим множество точек на той же плоскости, координаты которых определяются из формул x=x0+tcosa, y=y0+tsina.
  • Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Если производные, входящие в уравнение, берутся только по одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если в уравнении встречаются производные по нескольким переменным, то уравнение называется уравнением в частных производных. Мы будем рассматривать лишь обыкновенные дифференциальные уравнения.

Примеры задач типовых расчетов по Кузнецову

  • Аналитическая геометрия Написать разложение вектора по векторам
  • Дифференциальные уравнения Задача . Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде  
  • Задача Составить уравнение нормали (в вариантах 1-12) или уравнение касательной (в вариантах 13-31) к данной кривой в точке с абсциссой .
  • Графики функции Построить графики функций с помощью производной первого порядка.
  • Вычисление интегралов изменить порядок интегрирования
  • Кратные интегралы Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
  • Линейная алгебра Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов  и  и произведение любого элемента   на любое число ?
  • Вычисление пределов Доказать, что (указать ).
  • Ряды Найти сумму ряда
  • Векторный анализ Найти производную скалярного поля в точке  по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси .Найти производную скалярного поля в точке  по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси .