Вычисление производной Дифференциал функции

Математика задачи примеры решения

Угол между прямыми на плоскости.

 Определение. Если заданы две прямые y = k1x + b1, y = k2x + b2, то острый угол между этими прямыми будет определяться как

.

Две прямые параллельны, если k1 = k2.

Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/k2.

 Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А1х + В1у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = lА, В1 = lВ. Если еще и С1 = lС, то прямые совпадают.

  Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы двух уравнений.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку

перпендикулярно данной прямой.

  Определение. Прямая, проходящая через точку М1(х1, у1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

Расстояние от точки до прямой.

Замечание . Теорема имеет место и в том случае, если функции

f(х) и (х)не определены при х = а, но  f(х) = 0,

(х) = 0.

Замечание . Если и производные   удовлетворяют всем тем условиям, которые наложены на функции в теореме Лопиталя, то применяя правило Лопиталя к отношению , получаем   =   и так далее. Теорема имеет место и в том случае, если f(х) и (х) не определены

 при х = a, но f(х) = ∞, (х) = ∞, а также в случае а = ∞.

Таким образом, правило Лопиталя можно применять к неопределенностям вида . Преобразование графиков функций математика решение задач

Пример1

Здесь три раза было применено правило Лопиталя.

Пример 2.     =   .

Здесь два раза было применено правило Лопиталя.

Пример 3. x2. ln х (0. ) = (применим правило Лопиталя) = -

Пример 4. (secx – tgx) () = ) = (применим правило Лопиталя) = . [an error occurred while processing this directive]

Пример 5. Найти . Обозначим у = xх. Тогда   (применим правило Лопиталя) =    

Таким образом , откуда = e0 = 1.

 Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и

В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.

 Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой плоскости (A, B, C). Вектор (1, 3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой имеет вектор нормали (1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то

 Таким образом, вектор нормали (11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е. 11×2 + 7×1 - 2×4 + D = 0; D = -21.

 Итого, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.

 Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

 Находим координаты вектора нормали = (4, -3, 12). Искомое уравнение плоскости имеет вид: 4x – 3y + 12z + D = 0. Для нахождения коэффициента D подставим в уравнение координаты точки Р:

16 + 9 + 144 + D = 0

D = -169

 Итого, получаем искомое уравнение: 4x – 3y + 12z – 169 = 0


Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях