Вычисление производной Дифференциал функции

Математика задачи примеры решения

  Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

 С = 1, , а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой.

  Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем, то получим

xcosj + ysinj - p = 0 –

нормальное уравнение прямой.

 Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы m×С < 0.

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а j - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Дифференциал функции

Рассмотрим функцию у = х3. Дадим некоторому значению аргумента х ¹ 0 приращение Dх ¹ 0, тогда функция получит соответствующее приращение Dу. Вычислим его.

Dу = (х+Dх)33 = х3+3х2Dх+3х(Dх)2+(Dх)33 = =3х2Dх+(3х(Dх)2+(Dх)3).

Приращение функции можно рассматривать как сумму двух слагаемых: 3х2Dх – линейного относительно Dх и 3х(Dх)2+(Dх)3 – нелинейного относительно Dх. При Dх®0 оба слагаемых, очевидно, являются бесконечно малыми. Однако второе слагаемое является бесконечно малой более высокого порядка, чем первое. Действительно, .

  Обозначим 3х(Dх)2+(Dх)3 = 0(Dх). Таким образом, Dу = 3х2Dх+0(Dх). При малых Dх получаем: Dу»3х2Dх.

Практикум по решению математических задач Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Определение. Пусть приращение Dу функции y = f(x) в точке х можно представить в виде

Dу = АDх+0(Dх),  (1)

где Dх – приращение аргумента; А- величина, не зависящая отDх; 0(Dх) – бесконечно малая более высокого порядка, чем Dх при Dх®0, то есть . Тогда главная часть приращения (1) функции А×Dх, линейная относительно Dх, называется дифференциалом функции в точке х и обозначается dy. Итак, по определению dy = А×Dх.

Теорема о связи между существованием производной и существованием дифференциала. Для того, чтобы функция y = f(x) имела в точке х дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную.

Свойства дифференциала Это свойство дифференциала сложной функции называется инвариантностью формы дифференциала.

Дифференциалы высших порядков Дифференциал от дифференциала данной функции y = f(x) называется ее вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка и обозначается символом d2у или d2 f(x). Таким образом, по определению d2у = d().

Уравнение плоскости в векторной форме.

 где

- радиус- вектор текущей точки М(х, у, z),

 - единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат.

a, b и g - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z.

p – длина этого перпендикуляра.

  В координатах это уравнение имеет вид:

xcosa + ycosb + zcosg - p = 0.

Расстояние от точки до плоскости.

 Расстояние от произвольной точки М0(х0, у0, z0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:


Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях