Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину
эллипса, заданного уравнением:
Координаты нижней вершины: x = 0; y2 = 16; y = -4.
Координаты левого фокуса: c2 = a2 – b2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2(-3; 0).
Уравнение прямой, проходящей через две точки:
Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F1(0; 0), F2(1; 1), большая ось равна 2.
Уравнение эллипса имеет
вид: . Расстояние между фокусами:
2c
= , таким образом, a2 – b2 = c2 = ½
по условию
2а = 2, следовательно а = 1, b =
Итого: .
Элементы линейной алгебры
Пример . Вычислить определитель:
по правилу треугольника.
Решение. Перемножим элементы главной диагонали определителя, затем – элементы, лежащие на параллелях к этой диагонали, и элементы из противоположного угла определителя согласно правилу треугольника. Элементы, входящие в формулу (1.2) со знаком минус строим аналогично, но относительно побочной диагонали.
![]()
Замечание. Если применить правило треугольника к определителю треугольного вида
,
то этот определитель будет равен произведению элементов главной диагонали, то есть
.
Определение. Минором элемента определителя 3-го порядка называется определитель 2-го порядка, получающийся из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Минор элемента
, стоящего на пересечении i-й строки и j-го столбца определителя, обозначают М ij.
Например, для определителя
![]()
(1.3)
миноры:
![]()
Определители второго порядка Определение. Выражение
называется определителем 2-го порядка.
Определители 3-го порядкаОпределение. Выражение
![]()
называется определителем 3-го порядка.
Алгебраическим дополнением элемента определителя 3-го порядка называется минор этого элемента, взятый со знаком плюс, если элемент стоит на пересечении строки и столбца с четной суммой номеров, и со знаком минус, если элемент стоит на пересечении строки и столбца с нечетной суммой номеров.
Пример. Вычислить определитель
, разлагая его по элементам второй строки.
Определитель в правой части формулы называют транспонированным по отношению к определителю в левой части этой формулы. Если две строки (столбца) определителя равны, то определитель равен нулю. Если элементы какого-либо ряда определителя пропорциональны элементам параллельного ряда, то определитель равен нулю.
Пример. Вычислить определитель
, используя свойства определителей.
Линейная алгебра.
Основные определения.
Определение. Матрицей размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца.
А =
Основные действия над матрицами.
Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.
Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.
Определение. Матрица вида:
= E,
называется единичной матрицей.