Квадратная матрица Метод Гаусса

Математика задачи примеры решения

Миноры.

Выше было использовано понятие дополнительного минора матрицы. Дадим определение минора матрицы.

 Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.

 Заметим, что вышесказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным.

 Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, то определитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором.

Метод Гаусса

Пусть требуется решить систему АХ=В. Над строками расширенной матрицы произведем элементарные преобразования, приводящие ее к виду, когда ниже элементов а11, а22, …, аrr будут стоять нули. Этот вид матрицы будем называть трапециевидным.

Отметим, что все преобразования, приводимые над строками расширенной матрицы, проводятся над соответствующими уравнениями данной системы, а, как известно, в таком случае получают равносильную данной систему уравнений.

Итак, преобразуем матрицу

к виду . (1.17)

Матрица (1.17) является расширенной матрицей укороченной системы

 1.18)

Система (1.18) эквивалентна исходной системе.

Если хотя бы одно из чисел  отлично от нуля, то система (1.18) несовместна и вместе с ней несовместна исходная система.

Если же , то из укороченной системы получаем базисные неизвестные, перенеся в правые части укороченных уравнений свободные неизвестные.

Теорема Кронекера-Капелли Для того чтобы система m неоднородных линейных уравнений с n неизвестными была совместной, необходимо и достаточно, чтобы

Пример. Решить систему

Пример. Исследовать совместность системы

Пример. Исследовать совместность и найти общее решение системы

Однородные системы

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений  Такая система всегда совместна, так как этой системе удовлетворяют значения х1=х2=…=хn=0. Это решение системы называют тривиальным.

Пример. Решить систему

Базисный минор матрицы.

Ранг матрицы.

 Как было сказано выше, минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких - либо выбранных s строк и s столбцов.

Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.

Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.

 В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

  Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А.

 Очень важным свойством элементарных преобразованийматриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.


Математика Дифференциальное исчисление линейная и векторная алгебра Пределы