Квадратная матрица Метод Гаусса

Математика задачи примеры решения

Элементарные преобразования.

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:

 1) умножение строки на число, отличное от нуля;

  2) прибавление к одной строке другой строки;

 3) перестановка строк;

  4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

 5) транспонирование;

 Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.

Обратная матрица

Будем называть определителем квадратной матрицы

определитель, составленный из элементов этой матрицы:

.

Определение. Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если её определитель отличен от нуля, и вырожденной (особенной), если определитель её равен нулю.

Без доказательства примем, что

, то есть определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц. [an error occurred while processing this directive]

Теорема. Если А – невырожденная матрица, то существует и притом единственная матрица А-1 такая, что

.

Пусть дана невырожденная матрица

с определителем .

Рассмотрим матрицу,составленную из алгебраических дополнений к элементам матрицы А и называемую присоединенной к матрице А. Отметим, что алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы находят так же, как к элементам ее определителя. В присоединенной матрице алгебраические дополнения элементов строки стоят в столбце с таким же номером.

Пример. Найти матрицу, обратную для матрицы

Ранг матрицы Рассмотрим прямоугольную матрицу mхn. Выделим в этой матрице какие-нибудь k строк и k столбцов, 1 £ k £ min (m, n) . Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка.

Пример. Найти ранг матрицы

Пример. Вычислить ранг матрицы

Пример. Решить систему уравнений по правилу Крамера:

Пример. Матричным методом решить систему уравнений

 Пример. Дана матрица А = , найти А-1.

det A = 4 - 6 = -2.

M11=4; M12= 3; M21= 2; M22=1

 x11= -2; x12= 1; x21= 3/2; x22= -1/2

Таким образом, А-1=.

Cвойства обратных матриц.

 Укажем следующие свойства обратных матриц:

(A-1)-1 = A;

 2) (AB)-1 = B-1A-1

 

 3) (AT)-1 = (A-1)T.

 

 При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить програрамму, которая находит обратную матрицу и подробно описывает весь ход решения для матрицы размера 3х3.

  Для запуска программы дважды щелкните на значке

по строкам и нажмите Enter.

 Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (Ó Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.


Математика Дифференциальное исчисление линейная и векторная алгебра Пределы