Квадратная матрица Метод Гаусса

Математика задачи примеры решения

Миноры.

Выше было использовано понятие дополнительного минора матрицы. Дадим определение минора матрицы.

 Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.

 Заметим, что вышесказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным.

 Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, то определитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором.

Координаты вектора

Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат Oxyz. Обозначим , ,  – единичные векторы, направленные соответственно вдоль осей Ox, Oy, Oz (орты осей). Эти векторы называются декартовым прямоугольным базисом в пространстве.

Пусть  – произвольный вектор в пространстве. Перенесем его начало в точку O ( ) и построим прямоугольный параллелепипед, в котором вектор  является диагональю (рис. 11). Тогда , где , , – составляющие вектора  по осям Ox, Oy, Oz. Но , аналогично ,

.

 

Рис. 11

Обозначая , , , получим . Свойства векторного произведения.

Это равенство называется разложением вектора  по базису , , , а числа , ,  называются координатами вектора  в этом базисе, или декартовыми прямоугольными координатами вектора. Пишут  или .

Таким образом, прямоугольные декартовы координаты вектора – это его проекции на соответствующие оси координат.

Зная координаты вектора, легко выразить его длину:

 (2.2)

(квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений).

Если , где , , то , , . Тогда , или

  (2.3)

так выражаются координаты вектора через координаты его начала и конца.

Из свойств проекций (а координаты вектора – это его проекции на оси координат) следует:

если , , , то

1) , , – равные векторы имеют соответственно равные координаты;

2)  – при сложении векторов их координаты складываются, при вычитании – вычитаются;

3)  – при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число;

4) , , , то есть   (2.4)

координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

Направляющие косинусы вектора Направление вектора в пространстве определяется углами , которые вектор образует с осями координат. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора: , , .

Деление отрезка в данном отношении

Пример. Даны вершины треугольника , , . Найти точку пересечения медиан этого треугольника и орт вектора

Пример. Показать, что точки , , лежат на одной прямой, причем A – между B и C.

Базисный минор матрицы.

Ранг матрицы.

 Как было сказано выше, минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких - либо выбранных s строк и s столбцов.

Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.

Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.

 В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

  Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А.

 Очень важным свойством элементарных преобразованийматриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.


Математика Дифференциальное исчисление линейная и векторная алгебра Пределы