Квадратная матрица Метод Гаусса

Математика задачи примеры решения

Метод Крамера.

(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)

 Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

 Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.

det A ¹ 0;

Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть плоскость a задана уравнением    – ее нормальный вектор, а прямая  задана уравнениями    – направляющий вектор прямой. Обозначим  – угол между прямой и плоскостью,  – угол между соответствующими векторами (рис.46). Очевидно,  а  или  Но  тогда синус угла между прямой и плоскостью можно найти по формуле

(2.39)

Рис. 46

Если  то  (рис. 47), то есть  или

(2.40)

Найти массу пластинки  Очевидно, что область () не является ни -, ни - трапецией; при вычислении двойного интеграла в декартовой системе координат область () пришлось бы разбить на три области. Как для областей, заключенных между концентрическими окружностями с центром в начале координат “родной” является полярная система координат, так и для эллиптических колец “своей “ является эллиптическая система координат (обобщенная полярная система координат)

         условие параллельности прямой и плоскости. При этом же условии прямая лежит в плоскости.

Рис. 47

Если  то (рис. 48), то есть  – условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Решение произвольных систем линейных уравнений.

 Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.

 Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

 , (1)

где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

 Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.


Математика Дифференциальное исчисление линейная и векторная алгебра Пределы