Квадратная матрица Метод Гаусса

Математика задачи примеры решения

Миноры.

Выше было использовано понятие дополнительного минора матрицы. Дадим определение минора матрицы.

 Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.

 Заметим, что вышесказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным.

 Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, то определитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором.

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Линейные операции над векторами

Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

Сложение векторов. Пусть  и  – два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор ; затем от точки А отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается  (рис. 1).

Рис. 1

Ту же сумму можно получить иным способом. Отложим от точки О векторы  и . Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОАСВ. Вектор  – диагональ параллелограмма – является суммой векторов  и  (рис. 2).

 

Рис. 2

Понятие суммы можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых (рис. 3).

 

Рис. 3

Векторы. Основные понятия Вектором называется направленный отрезок. Обозначается вектор , , , , AB, a (А – начало вектора, В – его конец).

Вычитание векторов. Разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор : Û .

Умножение вектора на число. Произведением вектора на действительное число называется вектор (обозначают ), определяемый следующими условиями: 1)      , 2)      при и при .

Проекция вектора на ось Углом между двумя ненулевыми векторами и называется наименьший угол ( ), на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым. Предварительно нужно привести векторы к общему началу О

Пример . При каком условии ?

Базисный минор матрицы.

Ранг матрицы.

 Как было сказано выше, минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких - либо выбранных s строк и s столбцов.

Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.

Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.

 В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

  Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А.

 Очень важным свойством элементарных преобразованийматриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.


Математика Дифференциальное исчисление линейная и векторная алгебра Пределы