Квадратная матрица Метод Гаусса

Математика задачи примеры решения

Алгебраические дополнения.

 Определение. Алгебраическим дополнением минора матрицы называется  его дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы.

 В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.

 Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i1, … ,is, то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов (обозначается или ) называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: , где .

Учитывая, что , , можно записать: . Отсюда

. (2.8)

Из физики известно: если – постоянная сила, действующая на материальную точку, а  – вектор перемещения точки под действием этой силы, то работа, совершаемая силой  на участке l, равна .

Свойства скалярного произведения:

1)     ;

2)     ;

3)     ;

4)     , или , или .

Таким образом,  – условие перпендикулярности векторов. [an error occurred while processing this directive]

5)          , или, обозначая  (скалярный квадрат вектора ), получим , откуда .

Пусть известны координаты векторов  и : , .

Тогда  

Таким образом,

. (2.9)

Пример. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .

Смешанное произведение векторов Смешанным, или векторно-скалярным произведением трех векторов (обозначается ) называется произведение вида .

Теорема. Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Прямая на плоскости Пусть – заданная точка на прямой , – вектор, перпендикулярный прямой , его называют нормальным вектором прямой, и пусть – произвольная точка прямой . Пусть – заданная точка на прямой , – вектор, параллельный прямой, его называют направляющим вектором прямой, и пусть – произвольная точка прямой Пусть заданная точка на прямой , – угол наклона прямой к оси ,

Угол между двумя прямыми. Пусть прямые и заданы соответственно уравнениями , , где ,

Расстояние от точки до прямой. Пусть прямая на плоскости задана уравнением и точка имеет координаты

Пример. Прямая задана уравнением . Составить уравнения а) прямой , проходящей через точку параллельно прямой ; б) прямой , проходящей через начало координат перпендикулярно прямой .

Пример. В треугольнике с вершинами , , составить уравнения медианы , высоты , найти длину высоты

Матричный метод решения систем линейных уравнений.

 Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

 Метод удобен для решения систем невысокого порядка.

 Метод основан на применении свойств умножения матриц.

 Пусть дана система уравнений: 

Составим матрицы: A = ; B = ; X = .

Систему уравнений можно записать:

A×X = B.

Сделаем следующее преобразование: A-1×A×X = A-1×B,

т.к. А-1×А = Е, то Е×Х = А-1×В

Х = А-1×В

  Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.


Математика Дифференциальное исчисление линейная и векторная алгебра Пределы