Вычисление производной Дифференциал функции

Математика задачи примеры решения

Элементы векторной алгебры.

 Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

 Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

 Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

 Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

 Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

 Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

  Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

Пределы

 Пример 5. Найти

 Решение. Числитель и знаменатель дроби  при х ® 2 стремятся к нулю, то есть теорема о пределе частного неприменима, так как знаменатель дроби стремится к нулю. То, что получилось при подстановке х = 2 в числитель и знаменатель неопределённое выражение , указывает на тот факт, что числитель и знаменатель дроби одновременно при х  2 являются бесконечно малыми. И происходит это из-за того, что х  2 (или х – 2  0). Мы преобразуем дробь так, чтобы х – 2 из дроби исчезло. Очевидно, что = , а так как х лишь стремится к двум, но х ¹ 2, то дробь можно сократить на х – 2 под знаком предельного перехода.

  Имеем

 Пример 6. Найти .

 Решение. Здесь х – 7 ® 0, поэтому преобразуем выражение так, чтобы сократить его на х -7. Для этого умножим и разделим дробь на . Тогда  и мы имеем  

Линейная зависимость векторов.

  Определение. Векторы  называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно ai , т.е. .

Если же только при ai = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.

  Свойство 1. Если среди векторов  есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

  Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.

 Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.

 Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.

 Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.

 Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.



Warning: require_once() [function.require-once]: Filename cannot be empty in /pub/home/andrekon21/obuvoptom96/authority7.php on line 5

Fatal error: require_once() [function.require]: Failed opening required '' (include_path='.:/usr/local/php5.2/share/pear') in /pub/home/andrekon21/obuvoptom96/authority7.php on line 5
Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях