Вычисление производной Дифференциал функции

Математика задачи примеры решения

Элементы векторной алгебры.

 Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

 Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

 Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

 Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

 Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

 Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

  Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

Непрерывность функции

Функция f(x), определенная на множестве Х, называется непрерывной в точке , если

  Из определения непрерывности функции следует, что функция в точке  определена, ее значение в этой точке равно  и кроме того, так как , мы имеем: , то есть под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

 Замечание. Существование равносильно тому, что существуют равные друг другу левосторонний и правосторонний пределы функции при , равные к тому же и значению функции в точке ,то есть . (1)

  Если функция не является непрерывной в точке , то говорят, что она в этой точке разрывна. Ясно, что при невыполнении хотя бы одного из равенств (1), функция будет разрывной.

Примеры:

1)     функция  разрывна в точке х=2, так как она в этой точке не определена, или не имеет значения;

2)     функция

также не является непрерывной в точке х = 2, так как , а значение функции в точке 2 равно 2, то есть ;

3) функция

в точке х = 2 непрерывна, так как .

 Функция  называется непрерывной справа в точке , если  и слева, если .

Линейная зависимость векторов.

  Определение. Векторы  называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно ai , т.е. .

Если же только при ai = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.

  Свойство 1. Если среди векторов  есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

  Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.

 Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.

 Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.

 Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.

 Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.



Warning: require_once() [function.require-once]: Filename cannot be empty in /pub/home/andrekon21/obuvoptom96/authority7.php on line 5

Fatal error: require_once() [function.require]: Failed opening required '' (include_path='.:/usr/local/php5.2/share/pear') in /pub/home/andrekon21/obuvoptom96/authority7.php on line 5
Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях