Дифференциальное исчисление линейная и векторная алгебра Пределы

Вычисление производной Формулы вычисления производной некоторых элементарных функций получены в курсе средней школы

Производные высших порядков Предположим, что функция y = f (x ) дифференцируема в некотором интер­вале (а, в ). Тогда ее производная f' (x ) в этом интервале является функцией х. Пусть эта функция также имеет производную в (а, в ). Эта производная называется второй производной или производной второго порядка функции y = f (x) и обозначается y'' или f'' (x ).

Дифференциал функции Рассмотрим функцию у = х 3. Дадим некоторому значению аргумента х ¹ 0 приращение Dх ¹ 0, тогда функция получит соответствующее приращение Dу. Вычислим его.

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях Теорема Ферма Пусть функция y = f (x ) определена в интервале (а, в ) и принимает в точке с этого интервала наибольшее или наименьшее на (а, в ) значение. Если существует f' (с ), то f' (с ) = 0.

Выпуклость и вогнутость графика функции Точки перегиба График дифференцируемой функции у = f (x ) называется выпуклым (вогнутым) в интервале (а, b ), если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале.

Пример. Вычислить определитель: по правилу треугольника.

Определители 4-го порядка. Методы их вычисления [an error occurred while processing this directive]

Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если её определитель отличен от нуля, и вырожденной (особенной), если определитель её равен нулю.

Метод Гаусса Пусть требуется решить систему АХ=В. Над строками расширенной матрицы произведем элементарные преобразования, приводящие ее к виду, когда ниже элементов а11, а22, …, а rr будут стоять нули. Этот вид матрицы будем называть трапециевидным.

Предел функции Совокупность значений некоторых величин, как правило, лишенных физического содержания, представляет собой некоторые числовые множества. Будем обозначать множества большими буквами латинского алфавита: А,В,..,Х ,У .

Рассмотрим на примерахосновные приёмы раскрытия неопределенностей

Точка разрыва функции, не являющаяся точкой разрыва первого рода или точкой устранимого разрыва, является точкой разрыва второго рода.

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Линейные операции над векторами Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

Координаты вектора Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат Oxyz. Обозначим , , – единичные векторы, направленные соответственно вдоль осей Ox, Oy, Oz (орты осей). Эти векторы называются декартовым прямоугольным базисом в пространстве.

Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов (обозначается или ) называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: , где .

Кривые второго порядка Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат х, у

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид

Уравнение такого вида может определять: 1) эллипс (в частности, окружность), 2) гиперболу, 3) параболу, 4) пару прямых (параллельных, пересекающихся либо совпадающих), 5) точку или не определять никакой линии.

Взаимное расположение прямой и плоскости